Toda regra simples esconde números enormes. Um tabuleiro de três por três casas parece pequeno demais para render surpresas, e mesmo assim ele comporta centenas de milhares de partidas diferentes. Este texto percorre alguns jogos do TabulePlay pelo lado dos números: quantas partidas existem, quantas posições, quais são as chances de certas situações — e o que isso muda na hora de jogar.
Jogo da Velha: pequeno, mas não trivial
Um jogo da velha pode terminar de 255.168 maneiras diferentes (contando cada sequência de jogadas como uma partida): 131.184 vitórias de quem começa, 77.904 de quem joga em segundo e 46.080 empates. Se você tratar como iguais as posições que só diferem por rotação ou espelhamento do tabuleiro, sobram apenas 765 posições possíveis.
O que vale para a estratégia: o jogo da velha é resolvido. Com jogo perfeito dos dois lados, dá sempre empate — quem começa não tem vantagem se o outro não errar. Ou seja, contra um adversário que não erra, o melhor que você consegue é empatar; para vencer, é preciso que o outro cometa um erro — e a graça do jogo está em armar situações em que ele seja tentado a cometê-lo.
Xadrez: números que ninguém consegue contar
No Xadrez, o número de partidas cresce de um jeito vertiginoso. Contando as posições possíveis a cada meia-jogada (uma jogada de um lado só):
| Meias-jogadas | Posições possíveis |
|---|---|
| 1 | 20 |
| 2 | 400 |
| 3 | 8.902 |
| 4 | 197.281 |
| 5 | 4.865.609 |
Ou seja: depois de apenas cinco meias-jogadas, já são mais de 4,8 milhões de posições. O número de posições legais no jogo inteiro é estimado entre 10 elevado a 43 e 10 elevado a 47, e o número de partidas possíveis, calculado pelo matemático Claude Shannon em 1950, é da ordem de 10 elevado a 120 — muito mais do que o número estimado de átomos no universo observável, que é da ordem de 10 elevado a 80. É por isso que nenhum computador “resolveu” o Xadrez: ele vence os humanos pela qualidade da busca, não por esgotar as possibilidades.
Sudoku: mais grades do que parece
Quantas grades de Sudoku completas e válidas existem? 6.670.903.752.021.072.936.960 — cerca de 6,67 sextilhões. Parece uma quantidade imensa, mas boa parte delas é a mesma grade “disfarçada”: trocar os números (todo 1 vira 2, e assim por diante), girar ou espelhar a grade, ou trocar linhas dentro de um mesmo bloco de três gera grades diferentes no papel, mas equivalentes. Desconsiderando essas equivalências, restam 5.472.730.538 grades “essencialmente diferentes”.
Outro número conhecido: 17. É a menor quantidade de dicas (números já preenchidos) com a qual um Sudoku consegue ter uma única solução — um resultado provado por computador em 2012, depois de anos de busca. Nenhum Sudoku com 16 dicas tem solução única.
Dominó: a matemática do baralho de 28 pedras
O dominó duplo-seis tem 28 pedras: uma para cada combinação de dois números entre 0 e 6 (sete duplas mais 21 pedras com números diferentes). Alguns números que aparecem quando você joga:
- Cada número aparece em 7 pedras — por exemplo, o 4 está no 0-4, 1-4, 2-4, 3-4, 4-4, 4-5 e 4-6. Quando várias delas já saíram, o número fica “raro” na mesa, e uma ponta aberta nele pode travar quem não tem mais nenhuma pedra com aquele número.
- A soma de todos os pontos do baralho é 168. Cada número de 0 a 6 aparece oito vezes (contando as duplas duas vezes), e 8 × (0+1+2+3+4+5+6) = 8 × 21 = 168. Quando o jogo fecha, é a soma dos pontos que sobraram na mão de cada um que decide a rodada — então quanto mais pontos você já jogou, menos sobra para ser contado contra você.
- Uma mão de 7 pedras pode ser formada de 1.184.040 jeitos. E as duas mãos juntas, de mais de 137 bilhões de jeitos.
- A chance de uma mão de 7 pedras não ter nenhuma dupla é de cerca de 9,8% (quase uma mão em cada dez). Já a chance de nenhum dos dois jogadores ter dupla é de cerca de 0,3% — é o caso raro em que ninguém pode abrir a rodada com uma dupla, e a regra do TabulePlay passa a valer: abre quem tiver a pedra de maior soma.
Campo Minado: quando só resta chutar
Um Campo Minado nível especialista tem 30 × 16 = 480 casas e 99 minas. O número de jeitos de espalhar as minas é da ordem de 10 elevado a 105. Mas a graça é outra: em boa parte das partidas dá pra resolver o tabuleiro por dedução pura, e só de vez em quando cai numa situação em que nenhuma casa é segura com certeza — o famoso “50-50”, em que a melhor jogada é escolher a de menor probabilidade de ser mina. Saber reconhecer esse momento, e não desperdiçar chutes antes de esgotar a lógica, é o que separa quem joga bem de quem só tem sorte.
2048 e Resta Um: limites que dá pra calcular
- 2048: o nome é o objetivo, mas o jogo não termina nele. Num tabuleiro 4×4, a maior peça possível é a de 131.072 (2 elevado a 17) — um número que, na prática, quase ninguém chega perto de ver.
- Resta Um: no tabuleiro clássico de 33 casas, começa-se com 32 pedras e uma casa vazia. Como cada salto retira exatamente uma pedra, toda solução tem exatamente 31 saltos — sem exceção. O desafio, então, não é “quantos saltos dar”, e sim não ficar sem saltos possíveis antes do 31º, com pedras isoladas espalhadas pelo tabuleiro.
O que os números ensinam
Cada um desses números aponta para uma lição de estratégia. O jogo da velha, por ser pequeno, é dominado — e ninguém precisa decorar nada. O Xadrez é grande demais para decorar, então vale aprender princípios. O Sudoku tem estrutura suficiente para ser resolvido só por regras de eliminação. O Dominó mistura sorte no sorteio das pedras com cálculo de probabilidade durante o jogo: contar as pedras que já saíram é uma vantagem real. E o Campo Minado premia quem sabe a diferença entre certeza e probabilidade.
No fim, a matemática não tira a graça dos jogos — mostra por que eles duram.